1 生成元和关系

这段话是本节的引言，起到了承上启下的作用。

• 承上：它首先回顾了之前讨论过的概念——自由群。自由群（Free Group）是一个非常特殊的群，它的生成元（generators）之间除了群的基本公理（结合律、单位元、逆元）所要求的之外，没有任何其他的约束关系。你可以把自由群的生成元想象成一堆完全独立的字母，你可以用它们和它们的逆来构造各种“字”（word），这些字只有在通过消除相邻的 $aa^{-1}$ 或 $a^{-1}a$ 这种形式才能化简，除此之外，任何两个不同的字都代表群里不同的元素。比如，由一个生成元 $a$ 生成的自由群是 $\{..., a^{-2}, a^{-1}, 1, a, a^2, ...\}$，它和整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$ 是同构的。由两个生成元 $a, b$ 生成的自由群就复杂多了，它的元素可以是 $ab$, $a^2b^{-1}ab$ 等等，只要不能再化简，这些字就都是不同的元素。

• 启下：然后，它指出了我们将要探讨的新方向。在现实世界和数学中遇到的大多数群，都不是自由群。它们的生成元之间通常存在一些特定的约束关系。这些关系被称为“非平凡关系”（nontrivial relations）。“平凡”指的是由群公理直接导出的关系，比如 $aa^{-1}=1$。“非平凡”则是指除此之外的特定关系。

• 核心概念：生成元（Generators）和关系（Relations）是描述一个群的两种基本要素。
• 生成元：一个群 $G$ 的一个生成元集合 $S$ 是 $G$ 的一个子集，使得 $G$ 中的每一个元素都可以表示为 $S$ 中元素的有限次乘积（包括它们的逆元）。这就像用一套基本的积木块（生成元）来搭建出整个复杂的结构（群）。
• 关系：关系是生成元之间必须满足的特定方程。这些方程限制了生成元组合的方式，从而塑造了群的结构。

• 举例说明：想象一下你有两个开关 A 和 B。
• 如果它们是自由的，你可以任意按 A、B、A、B...，每次操作序列都会产生一个新状态。这就是自由群的概念。
• 但如果有一个规则：“连续按两次 A 等于什么都没做”（即 $A^2=1$），并且“按 A 再按 B，等同于先按 B 再按 A”（即 $AB = BA$），那么这就引入了关系。这些关系使得很多操作序列等价了（比如 $AAB$ 就等于 $B$），群的规模就变小了，结构也变得更精细。这就是“非自由”的群。

这是一个核心定义，它精确地告诉我们什么是群中的“关系”。让我们一步步拆解它。

1. 背景：我们想描述一个已知的群 $G$（比如前面例子里的 $\mathbb{Z}_4$ 或 $D_4$）中生成元之间的约束。
2. 第一步：选定生成元。我们先从群 $G$ 中挑选出一组生成元，记为 $\{x_1, \ldots, x_n\}$。这意味着 $G$ 中的任何元素都能用这些 $x_i$ 和它们的逆 $x_i^{-1}$ 的乘积来表示。
3. 第二步：构建一个“参照系”。为了讨论这些 $x_i$ 之间的“关系”，我们需要一个没有额外关系的“理想环境”作为参照。这个理想环境就是由集合 $\{x_1, \ldots, x_n\}$ 上的自由群，我们称之为 $\mathcal{F}$。
   • 在 $\mathcal{F}$ 中，符号 $x_1, \ldots, x_n$ 只是形式上的符号。
   • $\mathcal{F}$ 的元素是由这些符号和它们的逆（$x_1^{-1}, \ldots, x_n^{-1}$）构成的所有可能的、已经化简到最简的字符串。例如，$x_1x_2$, $x_1x_1^{-1}x_2$ (化简为 $x_2$), $x_1x_2x_1^{-1}$ 都是 $\mathcal{F}$ 中的字（word）。
   • 在 $\mathcal{F}$ 中，除非一个字是空字 $\epsilon$（代表单位元），否则它不等于1。例如，在 $\mathcal{F}$ 中，$x_1^4$ 仅仅是字符串 "$x_1x_1x_1x_1$"，它不等于单位元。
4. 第三步：从“参照系”映射到“现实”。现在我们把自由群 $\mathcal{F}$ 中的字 $r$ 拿到我们实际的群 $G$ 中去“求值”（evaluate）。
   • “求值”的意思是：把字 $r$ 中的形式符号 $x_i$ 替换成 $G$ 中对应的那个实实在在的元素，然后按照 $G$ 的乘法规则进行计算。
   • 例如，如果 $r = x_1x_2x_1^{-1}$，我们就在 $G$ 中计算元素 $x_1$ 乘以元素 $x_2$ 再乘以元素 $x_1$ 的逆元。
5. 第四步：发现“关系”。如果在 $G$ 中计算的结果是单位元 $1_G$，那么我们就说这个自由群里的字 $r$ 是 $G$ 的一个关系。
   • 我们把这个关系记作 $r$，或者更清晰地写成 $r=1$。这个等式是在 $G$ 中成立的，但在自由群 $\mathcal{F}$ 中（除非 $r$ 是空字）是不成立的。
   • 这就是“塌缩”的体现：一个在自由群中非空的字，在实际的群 $G$ 中却变成了单位元。

这段话为刚刚定义的抽象概念“关系”提供了一个非常重要且具体的例子——二面体群 $D_n$，并指出了关系的一种标准书写格式。

1. 主角介绍：二面体群 $D_n$ 是研究正 $n$ 边形对称性的群。它的元素是所有能使正 $n$ 边形与自身重合的刚体运动（旋转和反射）。这个群的阶（元素个数）是 $2n$。
2. 生成元：我们可以用两个基本操作来生成 $D_n$ 中所有的对称变换：
   • $x$：旋转。具体是指以正 $n$ 边形的中心为轴，逆时针旋转 $2\pi/n$ 弧度（即 $360/n$ 度）。
   • $y$：反射。具体是指沿着某条固定的对称轴（例如，一条穿过一个顶点和中心的线，或者穿过一条边中点和中心的线）进行翻转。
3. 关系：这些生成元不是自由的，它们受到几何形状的约束，这些约束就体现为关系。
   • $x^n = 1$: 旋转 $n$ 次，每次旋转 $2\pi/n$，总共旋转了 $2\pi$ 弧度（360度），这相当于没有动，回到了初始状态（单位元 1）。因此，来自自由群的字 $x^n$ 在 $D_n$ 中求值为1。
   • $y^2 = 1$: 反射两次，相当于翻过去再翻回来，也回到了初始状态。因此，字 $y^2$ 在 $D_n$ 中求值为1。
   • $xyxy = 1$: 这是一个更复杂的关系，描述了旋转和反射如何相互作用。它指出，按照“先旋转、再反射、再旋转、再反射”的顺序操作，最终也会回到初始状态。
4. 关系的书写形式：括号里的注释非常重要。它告诉我们关系 $xyxy=1$ 有一个等价的、更常见的写法：$yx = x^{-1}y$。
   • 推导：我们来看看如何从 $xyxy=1$ 得到 $yx = x^{-1}y$。
   • 从 $xyxy=1$ 开始。
   • 两边同时左乘 $x^{-1}$：$x^{-1}(xyxy) = x^{-1}(1) \Rightarrow (x^{-1}x)yxy = x^{-1} \Rightarrow yxy = x^{-1}$。
   • 两边同时右乘 $y^{-1}$：$(yxy)y^{-1} = x^{-1}y^{-1} \Rightarrow yx(yy^{-1}) = x^{-1}y^{-1} \Rightarrow yx = x^{-1}y^{-1}$。
   • 因为我们已经有关系 $y^2=1$，这意味着 $y=y^{-1}$。所以，我们可以把 $y^{-1}$ 替换成 $y$。
   • 最终得到 $yx = x^{-1}y$。
   • 为什么偏好 $r=1$ 的形式：将所有关系都写成“某个字等于1”的形式（如 $xyxy=1$），是一种标准化的表示法。这使得所有关系都成为自由群中位于同一个特殊子集（即将在 $G$ 中求值为1的那些字）的成员。这种统一的形式对于后续定义由关系生成的正规子群至关重要。将关系写成 $A=B$ 的形式（如 $yx = x^{-1}y$）虽然直观，但在构建理论时不如 $AB^{-1}=1$ 的形式方便。

这段话阐述了关系的核心作用：它们是构建和理解群结构的关键。

1. 关系的首要作用：提供化简规则。
   • 原文提到，对于 $D_n$，利用关系 $x^n=1$, $y^2=1$, $xyxy=1$（或 $yx=x^{-1}y$），我们可以把任何由生成元 $x, y$ 构成的任意长的字（操作序列）都化简成一个标准形式：$x^i y^j$。
   • 化简过程：
   • 任何 $x$ 的幂次高于 $n-1$ 的，都可以用 $x^n=1$ 来降次。例如，$x^{n+2} = x^n x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2$。所以 $i$ 的范围是 $0, 1, \ldots, n-1$。
   • 任何 $y$ 的幂次高于 $1$ 的，都可以用 $y^2=1$ 来降次。例如，$y^3 = y^2 y = 1 \cdot y = y$。所以 $j$ 的范围是 $0, 1$。
   • 任何 $y$ 出现在 $x$ 左边的情况（如 $yx$），都可以用 $yx = x^{-1}y$（即 $x^{n-1}y$）来把 $y$ “挪”到右边。例如，$x^2 y x^3 y = x^2 (yx) x^2 y = x^2 (x^{-1}y) x^2 y = x y x^2 y$。重复这个过程，最终可以把所有的 $y$ 都移动到表达式的最右边。
   • 结论：通过这些关系，我们证明了 $D_n$ 中最多只有 $n \times 2 = 2n$ 个不同的元素，它们都可以被写成 $x^i y^j$ 的标准形式（其中 $i \in \{0, \ldots, n-1\}, j \in \{0, 1\}$）。
2. 关系的延伸作用：计算乘法表。
   • 一旦所有元素都有了标准形式，我们就可以计算任意两个元素的乘积，并把结果再次化为标准形式。
   • 例如，计算 $(x^a y^b) \cdot (x^c y^d)$。
   • 如果 $b=0$，乘积是 $x^a x^c y^d = x^{a+c} y^d$。然后对指数 $a+c$ 模 $n$ 即可。
   • 如果 $b=1$，乘积是 $x^a y x^c y^d$。我们需要用 $yx^c = x^{-c}y$ 把 $y$ 和 $x^c$ 交换位置。这会得到 $x^a (x^{-c}y) y^d = x^{a-c} y^{d+1}$。然后对指数 $a-c$ 模 $n$，对指数 $d+1$ 模 2。
   • 这样，整个群的乘法表（一个 $2n \times 2n$ 的表格）就可以被完全确定下来。
3. “定义关系”的概念。
   • 因为这组关系足以确定群的所有元素和它们之间的全部乘法规则，所以它们被称为这个群的一组定义关系（Defining Relations）。
   • 一套定义关系就像一个群的“基因图谱”或“构造蓝图”。
4. 从分析到构造的过渡。
   • 前面我们是在分析一个已知的群 $D_n$，找到了它的生成元和定义关系。
   • 接下来，作者提出了一个更深刻的问题：如果我们只知道一组生成元和一组关系（可能很复杂），我们甚至不知道它们对应哪个已知的群，我们该如何“从零开始”构建出这个群呢？
   • 这个从“分析”到“构造”的飞跃，是本节的核心。作者预告，将使用自由群和下一个引理来解决这个问题，即定义“由给定元素集和给定关系集生成的群”。

这个引理是搭建后续理论（用关系定义群）的一块关键积木。它的核心思想是：给定一个群 $G$ 和其中的任意一个子集 $R$，我们想找到一个包含 $R$ 的“最小的”正规子群。

1. 引理要解决的问题：
   • 我们有一个大群 $G$ (比如，我们之后会用自由群 $\mathcal{F}$ 作为这个 $G$)。
   • 我们有一个子集 $R \subseteq G$ (这个 $R$ 就是我们想让它“等于1”的那些关系的集合)。
   • 我们想构造商群 $G/N$。为了构造商群，除数的 $N$ 必须是一个正规子群。
   • 我们希望这个商群能体现 $R$ 中所有元素都“等于1”的效果。这意味着 $R$ 中的所有元素都必须在 $N$ 里面（因为 $N$ 是商群的单位元）。
   • 同时，我们不希望引入不必要的关系。所以我们希望 $N$ 尽可能地小，只包含那些“必须”包含的元素。
   • 综上，我们需要找到包含 $R$ 的最小的那个正规子群。
2. 引理的结论：
   • 存在性与唯一性：这样的最小正规子群 $N$ 总是存在且唯一的。它被称为“由 $R$ 生成的正规子群”（Normal Subgroup Generated by R）。
   • “最小”的含义：如果任何其他的正规子群 $H$ 也包含了集合 $R$，那么这个 $H$ 必然也包含了 $N$ (即 $N \subseteq H$)。这就像 $N$ 是所有包含 $R$ 的正规子群的“交集”。（事实上，它的一个构造方法就是取所有包含 $R$ 的正规子群的交集，交集仍然是正规子群）。
3. 如何构造/描述 $N$ 的元素：引理给出了两种等价的描述方式，这两种方式更具有建设性。

• (a) “闭包”描述：
• 从集合 $R$ 的元素出发。
• 你可以对已有的元素做三种操作：

1. 乘法：取两个已有元素 $a, b$，它们的乘积 $ab$ 也在集合里。
2. 求逆：取一个已有元素 $a$，它的逆 $a^{-1}$ 也在集合里。
3. 共轭：取一个已有元素 $a$ 和 $G$ 中的任意一个元素 $g$，它的共轭 $gag^{-1}$ 也在集合里。
   • 所有能通过这三种操作的有限次组合，从 $R$ 的元素构造出来的元素的集合，就是 $N$。
   • 理解：前两种操作（乘法、求逆）保证了结果是一个子群。第三种操作（共轭）是关键，它保证了这个子群是正规的。因为正规子群的定义就是对于子群中任一元素 $n$ 和群中任一元素 $g$，其共轭 $gng^{-1}$ 仍在该子群中。

• (b) “共轭乘积”描述：
• 这是一个更具体的构造方法。
• 第一步：扩大初始集合。令 $R' = R \cup R^{-1}$，即 $R$ 中的所有元素和它们各自的逆元。
• 第二步：构造基本“积木块”。这些积木块的形式是 $grg^{-1}$，其中 $r \in R'$，$g \in G$。这就是 $R'$ 中元素的共轭。
• 第三步：拼接积木块。$N$ 中的任意一个元素都可以写成有限个这种“积木块”的乘积：

$n = (g_1 r_1 g_1^{-1}) (g_2 r_2 g_2^{-1}) \cdots (g_m r_m g_m^{-1})$，其中 $r_i \in R'$, $g_i \in G$。

• 理解：这种描述方式更直接地体现了共轭的作用。为了让一个包含 $r$ 的子群 $N$ 成为正规的，它不仅要包含 $r$，还必须包含 $r$ 的所有共轭 $grg^{-1}$。然后为了让它成为一个子群，还必须包含这些共轭的乘积。这种描述方式清晰地展示了 $N$ 的元素是如何被“强制”生成的。

这是一个简短但重要的约定，用于处理边界情况。

• 问题：前面的引理讨论了由一个子集 $R$ 生成的正规子群。如果这个子集 $R$ 是空集（$R=\emptyset$），即不包含任何元素，那么它生成的最小正规子群是什么？

• 回答：由空集生成的最小正规子群是平凡子群 $\{1\}$。
• 平凡子群（Trivial subgroup）：只包含单位元 $1$ 的子群。它总是任何群的子群，并且总是正规的。

• 为什么这个约定是合理的？
• 根据引理 7.10.3 的描述，由 $R$ 生成的正规子群 $N$ 是包含 $R$ 的最小正规子群。
• 如果 $R=\emptyset$，那么我们需要找一个包含空集的最小正规子群。
• 任何子群（包括平凡子群 $\{1\}$）都天然包含空集。
• 在所有的正规子群中，$\{1\}$ 是最小的那个（任何其他正规子群都至少包含1）。
• 因此，包含空集的最小正规子群必然是 $\{1\}$。
• 我们也可以从引理的构造性描述(b)来看：
• $R = \emptyset$，那么 $R' = \emptyset \cup \emptyset^{-1} = \emptyset$。
• 由 $R'$ 的共轭的乘积构成的集合。由于 $R'$ 是空的，我们无法取出任何 $r$ 来形成共轭。在这种情况下，数学上的约定是，一个空的乘积（a product over an empty set of factors）等于单位元 $1$。
• 因此，由空集生成的正规子群只包含单位元 $1$。

这是本节的最高潮，它给出了如何从零开始、仅通过生成元和关系来构造一个群的精确定义。这个定义综合了前面所有的概念。

1. 原材料：我们手上只有两样东西：
   • 一个生成元的集合 $S = \{x_1, \ldots, x_n\}$。这些目前只是抽象的符号。
   • 一个关系的集合 $R = \{r_1, \ldots, r_k\}$。这里的每一个 $r_j$ 都是用 $S$ 中的符号构成的字（例如 $r_1=x_1^3$, $r_2=x_2^2$, $r_3=x_1x_2x_1x_2$）。我们希望在最终构造的群中，这些字都等于单位元。
2. 第一步：构建一个“最大可能性”的宇宙。
   • 我们从生成元集合 $S$ 出发，构建一个包含所有可能组合的、最“自由”的群。这就是集合 $S$ 上的自由群 $\mathcal{F}$。
   • 在 $\mathcal{F}$ 中，唯一的规则就是群公理。任何两个不同的、已化简的字都代表不同的元素。这个群通常是无限的，并且结构非常“松散”。
3. 第二步：确定需要“坍缩”成单位元的元素。
   • 我们的目标是让关系集 $R$ 中的所有字 $r_j$ 都变成单位元。
   • 仅仅让 $r_j$ 自身等于1是不够的。为了得到一个合法的商群，我们除以的那个子群 $\mathcal{R}$ 必须是正规的。
   • 根据引理 7.10.3，任何包含 $R$ 的正规子群，都必须包含 $R$ 中元素的共轭 ($gr_jg^{-1}$) 以及它们的乘积。
   • 所以，为了让 $R$ 中的元素在商群中为1，我们必须把所有由 $R$ “逻辑上蕴含”的元素都一同视为1。这个“逻辑蕴含”的集合，正是由 $R$ 生成的 $\mathcal{F}$ 的正规子群 $\mathcal{R}$。
   • $\mathcal{R}$ 就是我们在引理 7.10.3 中定义的那个包含 $R$ 的最小正规子群。它就是所有我们希望在最终群里等于1的元素的总集合。
4. 第三步：执行“坍缩”操作，得到最终的群。
   • 我们使用商群（Quotient Group）的构造方法。
   • 最终的群 $\mathcal{G}$ 被定义为商群 $\mathcal{F} / \mathcal{R}$。
   • 商群 $\mathcal{F} / \mathcal{R}$ 的元素是 $\mathcal{F}$ 关于 $\mathcal{R}$ 的陪集（cosets）。一个陪集的形式是 $w\mathcal{R} = \{w \cdot z \mid z \in \mathcal{R}\}$，其中 $w$ 是 $\mathcal{F}$ 中的一个字。
   • 在商群 $\mathcal{F} / \mathcal{R}$ 中，子群 $\mathcal{R}$ 本身就是单位元。
   • 因为我们构造的 $\mathcal{R}$ 包含了所有的关系 $r_j$，所以在商群中，$r_j$ 所在的陪集就是 $r_j\mathcal{R} = \mathcal{R}$，即单位元。这就实现了我们“让关系等于1”的目标。
   • 两个字 $w_1$ 和 $w_2$ 在 $\mathcal{G}$ 中代表同一个元素，当且仅当它们在 $\mathcal{F}$ 中属于同一个陪集，即 $w_1\mathcal{R} = w_2\mathcal{R}$，这等价于 $w_2^{-1}w_1 \in \mathcal{R}$。

这段话引入了表示群的标准化符号，并立即应用到我们熟悉的例子上。

1. 新符号的引入：
   • 对于由生成元 $S=\{x_1, \ldots, x_n\}$ 和关系 $R=\{r_1, \ldots, r_k\}$ 定义的群 $\mathcal{G} = \mathcal{F}/\mathcal{R}$，我们有了一个简洁的记法：$\langle S \mid R \rangle$。
   • 这个记法非常直观，一目了然地展示了构造群的两种核心要素。
   • 尖括号 $\langle \ldots \rangle$：在群论中通常表示“由...生成”。
   • 竖线 |：读作“满足于”（such that）或“以...为关系”。
   • 左边是生成元列表。
   • 右边是关系列表。注意，这里写的 $r_j$ 只是关系的字，默认它们都“等于1”。有时为了清晰，也会写成 $r_j=1$。
2. 符号的含义：
   • 当你看到 $\langle x_1, \ldots, x_n \mid r_1, \ldots, r_k \rangle$ 这个表达式时，你应该立即在脑中翻译成定义 7.10.4 的构造过程：
3. 取自由群 $\mathcal{F}$ on $\{x_1, \ldots, x_n\}$。
4. 取由 $\{r_1, \ldots, r_k\}$ 生成的最小正规子群 $\mathcal{R}$。
5. 这个表达式代表的就是商群 $\mathcal{F}/\mathcal{R}$。
6. 应用到二面体群：
   • 前面我们分析过，二面体群 $D_n$ 是由生成元 $x$ (旋转) 和 $y$ (反射) 生成的。
   • 它的一组定义关系是 $x^n=1$, $y^2=1$, $xyxy=1$。
   • 因此，我们可以用这个新符号来表示一个通过这些生成元和关系构造出来的群：$\langle x, y \mid x^n, y^2, xyxy \rangle$。
   • 原文最后说，$D_n$ 与这个群同构（isomorphic）。
   • 同构是群论中“相同”的最强形式，意味着两个群在代数结构上是完全一样的，只是元素的名字可能不同。
   • 这句话的深层含义是：我们从具体几何对象（正 $n$ 边形）出发得到的对称群 $D_n$，和我们从抽象符号（$x, y$）与抽象规则（$x^n=1, \ldots$）出发构造的群 $\langle x, y \mid \ldots \rangle$，是同一个东西。这建立了具体事物与抽象代数之间的桥梁。

这个例子将我们刚刚学到的理论应用到一个新的、更复杂的几何对象——正四面体上。目标是为正四面体的旋转对称群 $T$ 找到一组生成元和关系。

1. 研究对象：四面体群 $T$。这是指所有能使一个正四面体与自身重合的旋转操作所构成的群。这个群的阶是12，它和交错群 $A_4$（4个元素的偶置换群）是同构的。
2. 选取生成元：作者从几何直觉出发，选取了三种代表性的旋转操作作为生成元。
   • $x$：绕一个面的中心旋转 $2\pi/3$ (120°)。一个正四面体有4个面（都是正三角形），每个面相对的那个顶点构成一条旋转轴。这种旋转是3阶的，即转3次回到原位。
   • $y$：绕一个顶点的中心旋转 $2\pi/3$ (120°)。一个正四面体有4个顶点，每个顶点和对面中心的连线构成一条旋转轴。这种旋转也是3阶的。
   • $z$：绕一条边的中心旋转 $\pi$ (180°)。一个正四面体有6条边，每条边和其对边中点的连线构成一条旋转轴。这种旋转是2阶的（转2次回到原位）。
3. 将几何操作代数化：为了研究这些操作的关系，最方便的方法是看它们如何作用于四面体的4个顶点，从而将它们表示为置换（Permutation）。
   • 图中顶点已编号为 1, 2, 3, 4。
   • $x$ 的作用：图示的 $x$ 是绕着包含顶点1的那个面（面234）的中心轴旋转。它保持顶点1不动，将顶点2, 3, 4进行轮换。所以 $x$ 对应的置换是 $(234)$。
   • $y$ 的作用：图示的 $y$ 是绕着顶点4的轴旋转。它保持顶点4不动，将顶点1, 2, 3进行轮换。所以 $y$ 对应的置换是 $(123)$。
   • $z$ 的作用：图示的 $z$ 是绕着连接边12中点和边34中点的轴旋转。它交换顶点1和3，同时交换顶点2和4。所以 $z$ 对应的置换是 $(13)(24)$。
4. 发现关键关系：现在我们在代数层面（置换群 $S_4$ 中）计算这些生成元的乘积。
   • 计算 $xyz$ 对应的置换：
   • 从右往左计算一个元素的作用，比如 1:
   • $(13)(24)$ 把 1 变成 3。
   • $(123)$ 把 3 变成 1。
   • $(234)$ 把 1 变成 1。
   • 所以 $1 \to 1$。
   • 计算元素 2:
   • $(13)(24)$ 把 2 变成 4。
   • $(123)$ 把 4 变成 4。
   • $(234)$ 把 4 变成 2。
   • 所以 $2 \to 2$。
   • 同理可计算 $3 \to 3$ 和 $4 \to 4$。
   • 结果是 $xyz$ 对应的置换是单位置换 $id$。这意味着 $xyz$ 这个组合旋转操作没有移动任何顶点。
   • 从几何到代数：作者引用了一个几何原理：“唯一固定所有顶点的等距变换是恒等”。因为旋转是一种等距变换（保持距离不变），而 $xyz$ 这个操作固定了所有4个顶点，所以它必须是恒等变换（即单位元）。
   • 因此，我们得到了一个核心关系：$xyz=1$。
5. 总结关系：
   • 从生成元的定义，我们直接得到三个关系：
   • $x$ 是120°旋转，所以 $x^3=1$。
   • $y$ 是120°旋转，所以 $y^3=1$。
   • $z$ 是180°旋转，所以 $z^2=1$。
   • 通过计算，我们发现了一个混合关系：$xyz=1$。
   • 所以，在四面体群 $T$ 中，这四个关系都成立。

在成功为四面体群 $T$ 找到一组生成元和关系后，作者立刻提出了两个深刻且实际的核心问题。这两个问题是群表示理论的中心议题。

问题1：完备性问题 (The Sufficiency Problem)

• 问题陈述：我们找到的关系 $\{x^3, y^3, z^2, xyz\}$ 是不是“全部的”关系？或者说，它们是否是一组定义关系？
• 换一种说法：如果我们根据定义7.10.4，使用这组生成元和关系来构造一个抽象群 $\mathcal{G} = \langle x, y, z \mid x^3, y^3, z^2, xyz \rangle$，那么这个从零构造出来的群 $\mathcal{G}$ 和我们开始时研究的具体的几何群 $T$ 是否同构？
• 为什么这是个问题：
• 我们知道 $T$ 中的确满足这些关系。这意味着，由这四个关系字在自由群 $\mathcal{F}$ 中生成的正规子群 $\mathcal{R}$，必然是自由群到 $T$ 的同态映射的核的一部分。
• 但有没有可能 $T$ 中还满足一些其他的、不能从这四个关系代数推导出来的“隐藏”关系？
• 例如，在 $T$ 中可能成立 $xy^2xy^2=1$。如果我们无法仅用 $\{x^3, y^3, z^2, xyz\}$ 这四个关系通过代数运算（乘法、求逆、共轭）证明 $xy^2xy^2$ 属于正规子群 $\mathcal{R}$，那就意味着我们找到的关系集是不完备的。
• 如果关系集不完备，那么我们构造的群 $\mathcal{G} = \mathcal{F}/\mathcal{R}$ 的阶会比 $T$ 更大。因为“除掉”的关系不够多，“坍缩”得不够彻底。
• 解决的难度：作者指出，直接验证这一点很困难。我们需要证明，任何在 $T$ 中成立的关系（即任何在置换群 $A_4$ 中计算为单位元的字），都可以从代数上由这四个基本关系推导出来。这通常需要一些巧妙的技巧，而不是暴力列举。暴力列举（“在不重复的情况下将群的12个元素列为...乘积”）本身就很难，因为你不知道什么时候会出现重复。
• 预告：作者给了我们一个定心丸，答案是“肯定的”，这确实是一组定义关系。但他卖了个关子，说证明方法将是间接的，而非通过繁琐的元素计算。

问题2：计算问题 (The Word Problem)

• 问题陈述：就算我们接受了一个群的表示 $\mathcal{G} = \langle S \mid R \rangle$，我们该如何在这个群里做运算？
• 核心困难：群 $\mathcal{G}$ 的元素是陪集。给定两个字 $w_1$ 和 $w_2$，它们在 $\mathcal{G}$ 中是否代表同一个元素？这等价于问：$w_1^{-1}w_2$ 这个字是否属于由关系集 $R$ 生成的正规子群 $\mathcal{R}$？
• 这就是“字问题”(The Word Problem)：是否存在一个算法，对于任意给定的字 $w$，能在有限步骤内判断出 $w$ 是否属于 $\mathcal{R}$？
• 如果能解决字问题，我们就能判断任意字是否等于1。
• 进而，我们就能判断任意两个字 $w_1, w_2$ 是否相等（通过判断 $w_1^{-1}w_2$ 是否等于1）。
• 这样，我们就可以进行计算了：两个元素的乘积就是它们对应字的拼接，然后再利用字问题算法来化简和比较结果。
• 这个问题远非平凡：作者在下一段会举例说明，即使对于四面体群这么一个小的群，判断一个字是否在 $\mathcal{R}$ 中都可能需要一系列复杂的代数变形。对于更复杂的群，字问题可能是“算法上不可解的”（algorithmically unsolvable），这是由诺维科夫和布恩在20世纪50年代证明的惊人结果。

这段话是对上一段提出的“问题2”——字问题——的进一步阐述和明确化。

1. 问题的简化：计算困难的核心在哪里？
   • 作者首先指出，在自由群 $\mathcal{F}$ 中计算是“容易的”。这是因为 $\mathcal{F}$ 中的计算就是字符串的拼接和化简（删除相邻的 $xx^{-1}$）。两个字只要长得不一样（在最简形式下），它们就代表不同的元素。
   • 所有的困难都来源于从 $\mathcal{F}$到商群 $\mathcal{G} = \mathcal{F}/\mathcal{R}$ 的“坍缩”过程。
2. 字问题的精确表述：
   • 这个困难的核心，被精确地归结为：给定一个自由群 $\mathcal{F}$ 中的任意字 $w$，如何判断 $w$ 是否属于那个特殊的正规子群 $\mathcal{R}$？
   • $\mathcal{R}$ 的意义：$\mathcal{R}$ 是由关系集 $R$ 生成的最小正规子群。在商群 $\mathcal{G}=\mathcal{F}/\mathcal{R}$ 中，$\mathcal{R}$ 扮演的就是单位元的角色。
   • 所以，“判断 $w$ 是否在 $\mathcal{R}$ 中”就等价于“判断字 $w$ 在群 $\mathcal{G}$ 中是否代表单位元”。
   • 这个问题，就叫做群 $\mathcal{G}$ 的字问题（The Word Problem for $\mathcal{G}$）。
3. 解决字问题的意义：
   • 作者阐明，只要能解决“判断一个字是否为1”这个问题，我们就能解决所有计算问题。
   • 判断相等性：我们想知道两个不同的字 $w_1$ 和 $w_2$ 在 $\mathcal{G}$ 中是否相等。
   • 在群论中，等式 $w_1 = w_2$ 完全等价于 $w_1 w_2^{-1} = 1$ 或者 $w_2^{-1}w_1 = 1$。
   • 所以，判断 $w_1$ 是否等于 $w_2$ 的问题，被转化成了判断 $w_1 w_2^{-1}$ (这是一个新的字) 是否等于 1 的问题。
   • 如果我们有解决字问题的算法，我们就可以把 $w_1 w_2^{-1}$ 这个字输入算法，看它的输出是“是”（等于1）还是“否”（不等于1）。
   • 进行计算：有了判断相等性的能力，我们就能进行任何计算了。比如计算乘积 $w_1 \cdot w_2$，结果就是拼接成的字 $w_1w_2$。如果我们想知道这个结果是否等于另一个字 $w_3$，我们只需判断 $(w_1w_2)^{-1}w_3$ 是否等于1。

这段话对字问题的普遍性给出了一个高层次的概述和结论。

1. 好消息：有限群是“安全的”。
   • 作者断言：对于任何有限群（即元素个数是有限的群），字问题总是可以解决的。
   • 为什么可以解决？ 虽然作者没有展开，但我们可以推断出一个简单的（尽管效率极低）算法：
   • 给定一个有限群 $G$（比如 $D_4$，有8个元素），以及它的一个表示 $\langle S \mid R \rangle$。
   • 字问题：判断一个字 $w$ 是否等于1。
   • 算法：
2. 生成所有元素：从生成元 $S$ 开始，不断地将已有的元素相乘，直到不再产生新的元素为止。因为群是有限的，这个过程必然会在有限步内结束。我们可以得到群 $G$ 的所有元素的一个列表，以及它们对应的（某个）字。
3. 构建乘法表：利用这个元素列表，我们可以计算出完整的群乘法表。
4. 求值：现在，对于给定的字 $w$，我们可以按照乘法表一步步计算出它在 $G$ 中对应哪个元素。
5. 比较：最后，检查计算出的结果是否是单位元。
   • 这个算法虽然笨拙，但它保证能在有限时间内完成。因此，对于任何有限群，字问题都是“可解的”（solvable/decidable）。
6. 坏消息：无限群是“危险的”。
   • 作者接着说：“但并非在每个群中都能解决”。这主要指的是无限群。
   • 存在一些（有限生成元、有限关系定义的）无限群，它们的字问题是“算法上不可解的”（algorithmically unsolvable/undecidable）。
   • 不可解是什么意思？这意味着不可能编写出一个计算机程序，这个程序能接受该群的任意一个字作为输入，并且总能在有限时间内正确地回答“这个字是否等于1”。对于某些特定的字，这个程序可能会永远运行下去，无法给出答案。
   • 这是一个非常深刻的结果，它将群论与计算理论和数理逻辑联系起来。它表明，即使一个数学对象的定义是完全有限和精确的（有限生成元和关系），它的内在性质（如一个元素是否为单位元）也可能是不可知的。
7. 点到为止：
   • 作者明智地决定不深入这个话题。因为要严格地定义“算法”、“可解性”、“不可解性”，需要引入图灵机等计算模型，这超出了本书的范围。
   • 他提供了一个参考文献 [Stillwell]（可能是John Stillwell的书，如 "Classical Topology and Combinatorial Group Theory"），供感兴趣的读者深入研究。

这个例子的目的是亲手展示一下“解决字问题”的过程，并让读者体会到它的复杂性，即使是在一个我们熟悉的群里。

1. 目标：
   • 我们知道在四面体群 $T$ 中，有一个关系 $yxyx=1$ 成立。（这可以通过置换计算来验证：$y=(123), x=(234)$, $yx=(1324)$, $yxy=(142)$, $yxyx=(1)(2)(3)(4)=id$）。
   • 我们的任务是：只使用代数规则，即已知的四个关系 $x^3=1, y^3=1, z^2=1, xyz=1$，来证明 $yxyx$ 确实属于由这四个关系生成的正规子群 $\mathcal{R}$。
   • 换句话说，我们要把 $yxyx$ 这个字，通过一系列合法的代数变换，变成单位元 1。
2. “合法”的代数变换：
   • 将字乘以或除以一个已知的关系。因为关系在群 $\mathcal{G}=\mathcal{F}/\mathcal{R}$ 中等于1，乘以它不改变元素。这对应于判断 $w \in \mathcal{R}$ 和 $r^{-1}w \in \mathcal{R}$ 的等价性。
   • 对字进行共轭变换。因为 $\mathcal{R}$ 是正规的，所以 $w \in \mathcal{R}$ 当且仅当 $g^{-1}wg \in \mathcal{R}$。
3. 作者的证明步骤：这是一个非常巧妙的、逐步化简的过程。
   • 初始字：$w = yxyx$。
   • 使用的关系：为了方便，作者只明确使用了两个关系：$p = z^2$ 和 $q=xyz$。（实际上 $x^3=1, y^3=1$ 也隐含在内）。
   • 步骤1 (共轭)：考虑 $w_1 = y^{-1}wy = y^{-1}(yxyx)y = xyxy$。这是一个很聪明的技巧，因为 $xyxy$ 看起来比 $yxyx$ 更接近关系 $q=xyz$。我们想证明 $w=1$，这等价于证明 $w_1=1$。
   • 步骤2 (乘以关系)：$w_2 = q^{-1}w_1 = (xyz)^{-1}(xyxy) = z^{-1}y^{-1}x^{-1}xyxy = z^{-1}y^{-1}yxy = z^{-1}xy$。我们想证明 $w_1=1$，这等价于证明 $w_2=1$。
   • 步骤3 (共轭)：$w_3 = zw_2z^{-1} = z(z^{-1}xy)z^{-1} = xyz^{-1}$。我们想证明 $w_2=1$，这等价于证明 $w_3=1$。
   • 步骤4 (乘以关系)：$w_4 = q^{-1}w_3 = (xyz)^{-1}(xyz^{-1}) = z^{-1}y^{-1}x^{-1}xyz^{-1} = z^{-1}y^{-1}yz^{-1} = z^{-1}z^{-1}$。我们想证明 $w_3=1$，这等价于证明 $w_4=1$。
   • 步骤5 (乘以关系)：计算 $p w_4 = (z^2)(z^{-1}z^{-1}) = z^2 z^{-2} = 1$。
   • 推导链：我们成功证明了 $p w_4=1$。因为 $p$ 本身就是关系（在 $\mathcal{R}$ 中），这意味着 $w_4$ 也必须在 $\mathcal{R}$ 中（即 $w_4=1$ 在群中成立）。
   • 回溯：既然 $w_4=1$，那么 $w_3=1$；既然 $w_3=1$，那么 $w_2=1$；既然 $w_2=1$，那么 $w_1=1$；既然 $w_1=1$，那么最初的 $w=yxyx$ 也等于1。
   • 证明完毕。
4. 最后的表达形式：
   • 作者最后写出的 $w = y q z^{-1} q p^{-1} z y^{-1}$ 是什么意思？
   • 这是一个将 $w$ 表示为关系 ($p,q$) 及其共轭和逆的乘积的表达式。这精确地展示了 $w$ 是如何根据引理 7.10.3(b) 的方式构造出来的，从而证明了 $w \in \mathcal{R}$。
   • 我们来验证这个表达式：
   • 从 $pw_4=1 \Rightarrow w_4 = p^{-1}$
   • 从 $w_4=q^{-1}w_3 \Rightarrow w_3 = qw_4 = qp^{-1}$
   • 从 $w_3=zw_2z^{-1} \Rightarrow w_2 = z^{-1}w_3z = z^{-1}(qp^{-1})z$
   • 从 $w_2=q^{-1}w_1 \Rightarrow w_1 = qw_2 = q(z^{-1}qp^{-1}z)$
   • 从 $w_1=y^{-1}wy \Rightarrow w = yw_1y^{-1} = y(q z^{-1} q p^{-1} z)y^{-1}$。
   • 作者写的 $w=y q z^{-1} q p^{-1} z y^{-1}$ 似乎和推导出来的有点出入。让我们检查作者的推导过程。
   • $w_4 = q^{-1} w_3 \Rightarrow w_3 = q w_4$
   • $w_3 = z w_2 z^{-1} \Rightarrow w_2 = z^{-1} w_3 z = z^{-1} q w_4 z$
   • $w_2 = q^{-1} w_1 \Rightarrow w_1 = q w_2 = q z^{-1} q w_4 z$
   • $w_1 = y^{-1} w y \Rightarrow w = y w_1 y^{-1} = y (q z^{-1} q w_4 z) y^{-1}$
   • 最后 $p w_4 = 1 \Rightarrow w_4 = p^{-1}$。
   • 代入得到 $w = y q z^{-1} q p^{-1} z y^{-1}$。
   • 嗯，这次推导和作者的结果一致了。上一次回溯时 $w_3 = zw_2z^{-1}$ 解 $w_2$ 时解错了。应该是 $w_2=z^{-1}w_3 z$。
   • 这个最终表达式 $w = y (q z^{-1} q p^{-1} z) y^{-1}$ 完美地展示了 $w$ 是如何由关系 $p, q$ 通过乘法、求逆、共轭这些操作得到的，因此 $w \in \mathcal{R}$。

这段话是在提醒我们群表示 $\mathcal{G} = \langle S \mid R \rangle$ 的本质，并解释了在实际使用中我们是如何处理符号的，这涉及到一些约定俗成的简化。

1. 回顾本质：商群和规范同态
   • 作者强调，由表示定义的群 $\mathcal{G}$，其根本身份是一个商群 $\mathcal{F}/\mathcal{R}$。
   • 对于任何商群，都存在一个自然的、称为规范同态（Canonical Homomorphism）或自然投射（Natural Projection）的群同态 $\pi$。
   • 这个同态 $\pi$ 的定义域是原来的大群 $\mathcal{F}$（自由群），陪域是商群 $\mathcal{G}$。
   • 它的作用是：将 $\mathcal{F}$ 中的一个元素（一个字 $w$）映射到它所属的那个陪集，记为 $\bar{w}$ 或 $[w\mathcal{R}]$。
   • 根据同态基本定理，这个规范同态 $\pi$ 的核（kernel），即所有被映射到商群单位元的元素的集合，不多不少正好就是我们用来作除数的那个正规子群 $\mathcal{R}$。
2. 符号的困境与惯例
   • 安全的做法：从逻辑上讲，自由群 $\mathcal{F}$ 中的元素（如字 $x, y$）和商群 $\mathcal{G}$ 中的元素（如陪集 $\bar{x}, \bar{y}$）是不同类型的对象。为了严格区分它们，每次提到 $\mathcal{G}$ 中的元素时，都应该在相应的字上加上横线，例如 $\bar{x}^3= \bar{1}$。这在逻辑上是最严谨、最“安全”的。
   • 通行的惯例：然而，在实际的数学写作和思考中，一直带着这个横线会非常繁琐。因此，惯例是“滥用符号”（abuse of notation），在讨论群 $\mathcal{G}$ 时，直接用 $x$ 来表示元素 $\bar{x}$。
   • 带来的后果：当我们写下 $x^3=1$ 这个等式时，我们必须根据上下文来判断这个等式是在哪个群中成立的。
   • 如果我们在讨论关系本身，这个 $x^3$ 是自由群 $\mathcal{F}$ 中的一个字。
   • 如果我们在群 $\mathcal{G}$ 中工作，写下 $x^3=1$，这里的 $x$ 实际上是 $\bar{x}$，这个等式是陪集之间的运算 $(\bar{x})(\bar{x})(\bar{x}) = \bar{1}$ 的简写。
3. 心智负担：时刻记住等价关系
   • 作者提醒我们，当我们采用这种省略横线的简便记法时，我们的大脑中必须时刻绷紧一根弦：在 $\mathcal{G}$ 中，两个字 $w_1$ 和 $w_2$ 被视为相等（即 $w_1=w_2$ in $\mathcal{G}$），其底层真正的含义是它们在 $\mathcal{F}$ 中属于同一个陪集。
   • 这个条件有两种等价的表述，必须牢记：
4. 陪集相等：$w_1 \mathcal{R} = w_2 \mathcal{R}$。
5. 商在核中：$w_1^{-1}w_2 \in \mathcal{R}$ （或者 $w_2w_1^{-1} \in \mathcal{R}$）。
   • 这正是字问题的再次体现。在 $\mathcal{G}$ 中进行的每一步计算，其合法性都依赖于这个潜在的、关于“是否属于 $\mathcal{R}$”的判断。

这一小段话解释了为什么我们一开始作为“关系”给出的那些等式，在我们最终构造出的群 $\mathcal{G}$ 中是真的成立的。这是一个看似显然但逻辑上必须说明的步骤。

1. 第一层解释 (基于商群定义)
   • 我们是如何构造群 $\mathcal{G} = \mathcal{F}/\mathcal{R}$ 的？我们首先定义了 $\mathcal{R}$ 是由关系集合 $R=\{r_1, \ldots, r_k\}$ 生成的最小正规子群。
   • 根据引理 7.10.3，$\mathcal{R}$ 必然包含它所生成自的集合 $R$。所以，每一个定义关系 $r_i$ 都天然地是 $\mathcal{R}$ 的一个元素，即 $r_i \in \mathcal{R}$。
   • 在商群 $\mathcal{G} = \mathcal{F}/\mathcal{R}$ 中，单位元就是陪集 $\mathcal{R}$。
   • 一个元素 $w \in \mathcal{F}$ 在 $\mathcal{G}$ 中等于1，意味着它对应的陪集 $w\mathcal{R}$ 等于单位陪集 $\mathcal{R}$。
   • 这个条件 $w\mathcal{R}=\mathcal{R}$ 的充分必要条件就是 $w \in \mathcal{R}$。
   • 因为我们已经知道 $r_i \in \mathcal{R}$，所以 $r_i$ 在群 $\mathcal{G}$ 中就等于1。
   • 这从根本上解释了为什么关系成立：我们就是这样定义 $\mathcal{G}$ 的，我们把所有想让它等于1的关系以及它们的推论，打包成一个正规子群 $\mathcal{R}$，然后宣布这个包就是新的单位元。
2. 第二层解释 (基于同态性质)
   • 这里作者提供了另一个视角，利用了规范同态 $\pi: \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ 的性质。
   • 同态（Homomorphism）的定义是保持群结构的操作，即 $\pi(ab) = \pi(a)\pi(b)$。
   • 假设一个关系 $r_i$ 是一个字，比如 $r_i = x_1 x_2$。
   • 我们在 $\mathcal{G}$ 中计算对应的乘积，就是计算 $\pi(x_1) \pi(x_2)$。
   • 因为 $\pi$ 是一个同态，所以 $\pi(x_1)\pi(x_2) = \pi(x_1x_2) = \pi(r_i)$。
   • 我们又知道，$\pi$ 的核是 $\mathcal{R}$，并且所有的 $r_i$ 都在 $\mathcal{R}$ 中。一个元素在同态的核里，意味着它被映射到单位元。
   • 所以 $\pi(r_i) = 1_{\mathcal{G}}$。
   • 结合起来，$\mathcal{G}$ 中对应的乘积 $\pi(x_1)\pi(x_2)$ 就等于 $1_{\mathcal{G}}$。
   • 用滥用符号的写法，就是 $x_1x_2 = 1$ 在 $\mathcal{G}$ 中成立。
3. 具体例子
   • 对于群 $\mathcal{G} = \langle x, y, z \mid x^3, y^3, z^2, xyz \rangle$。
   • 关系 $xyz$ 是自由群 $\mathcal{F}$ 中的一个字。
   • 根据定义，这个字 $xyz$ 位于正规子群 $\mathcal{R}$ 中。
   • 因此，在商群 $\mathcal{G}$ 中，陪集 $(xyz)\mathcal{R}$ 就等于单位陪集 $\mathcal{R}$。
   • 使用简写，我们说 $xyz=1$ 在 $\mathcal{G}$ 中成立。

这段话开启了回答之前提出的“完备性问题”的理论准备。核心工具是两个“映射性质”（Mapping Property），首先介绍的是自由群的。

1. 背景和动机：
   • 我们有一个抽象构造的群 $\mathcal{G} = \langle x,y,z \mid \ldots \rangle$ 和一个具体的几何群 $T$。
   • 我们想知道它们是否同构。要建立同构，我们首先需要建立一个它们之间的群同态。
   • 这个同态应该怎么造？直觉上，我们希望把抽象表示中的生成元 $x,y,z$ 映射到四面体群 $T$ 中我们最初选取的那些具体的旋转操作 $x,y,z$。
   • 自由群的映射性质就是建立这种同态的第一步。
2. 命题 7.10.12 的内容：
   • 标题：自由群的映射性质（Mapping Property of Free Groups），有时也称为自由群的泛性质（Universal Property of Free Groups）。
   • 输入：
3. 一个自由群 $\mathcal{F}$，它是由一个生成元集合 $S=\{a, b, \ldots\}$ 生成的。
4. 任意一个目标群 $G$。
5. 一个从生成元集合 $S$ 到目标群 $G$ 的普通映射（set map） $f$。这个 $f$ 只是规定了每个生成元的“目的地”，它还不是一个群同态。
   • 输出/结论：
6. 存在性：这个映射 $f$ 可以被“扩展”（extend）成一个真正的群同态 $\varphi: \mathcal{F} \to G$。
7. 唯一性：这种扩展方式是唯一的。
8. 扩展规则：这个同态 $\varphi$ 是如何工作的？它遵循最自然的方式：
   • 对于生成元 $s \in S$，$\varphi(s)$ 就等于我们事先指定的 $f(s)$。
   • 对于一个字 $w = s_1 s_2 \ldots s_k$（其中 $s_i$ 是生成元或其逆），$\varphi(w)$ 就等于 $G$ 中对应的像的乘积：$\varphi(w) = \varphi(s_1)\varphi(s_2)\ldots\varphi(s_k)$。
   • 其中，$\varphi(s^{-1})$ 被定义为 $(\varphi(s))^{-1}$，以保证同态性质。
   • 作者的符号：用 $\underline{x}$ 表示 $f(x)$，即生成元 $x$ 在目标群 $G$ 中的像。那么，同态 $\varphi$ 把自由群中的一个字（例如 $ab^{-1}$）映射到目标群中对应元素的乘积（$\underline{a}(\underline{b})^{-1}$）。
9. 为什么这个性质很重要？
   • 它说明自由群是“最自由”的。要定义一个从自由群出发的同态，你不需要检查任何条件。你只需要决定生成元要去哪里，剩下的所有元素的像就都被唯一确定了。
   • 这与非自由群形成鲜明对比。例如，要定义一个从 $\mathbb{Z}_4 = \langle x \mid x^4=1 \rangle$ 出发的同态 $\psi$ 到某个群 $G$，你不能随便把 $x$ 映到 $G$ 中的任何元素 $g$。你选择的 $g$ 必须满足关系 $g^4=1_G$。否则，$\psi(x^4) = (\psi(x))^4 = g^4 \neq 1_G$，而 $\psi(1_{\mathbb{Z}_4})=1_G$，这就破坏了同态性质。
   • 自由群没有这样的烦恼，因为它的生成元没有任何需要被保持的关系（除了群公理自带的）。

在介绍了自由群的映射性质后，这里是第二块理论基石：商群的映射性质。这也被称为同态基本定理的第一、第二或第三个（取决于不同教科书的编号），它的核心思想是如何从一个已有的同态构造出一个新的、定义在商群上的同态。

1. 对“自由”的解释：
   • 在进入新命题之前，作者对自由群的“自由”一词给出了一个精辟的解释。
   • “自由”意味着生成元 $S$ 之间没有任何额外的约束。它们之间唯一的关系就是由群的三个公理（结合律，单位元，逆元）所强制要求的，比如 $aa^{-1}=1$。
   • 正因为如此，我们可以“自由地”将生成元映射到任何目标群的任何元素，而不用担心会破坏任何关系。
2. 命题 7.10.13 的内容 (商群的映射性质)
   • 设定 (已知条件)：
3. 一个从群 $G'$ 到群 $G$ 的群同态 $\varphi$。
4. 这个同态 $\varphi$ 的核是 $K = \{a \in G' \mid \varphi(a)=1_G\}$。
5. $N$ 是 $G'$ 的一个正规子群。
6. 关键条件：$N$ 完全包含在 $\varphi$ 的核 $K$ 中，即 $N \subseteq K$。这意味着 $N$ 中每一个元素在 $\varphi$ 的作用下都会变成 $G$ 中的单位元。
   • 构造 (我们要做什么)：
7. 我们构建商群 $\bar{G}' = G'/N$。
8. 我们有从 $G'$ 到 $\bar{G}'$ 的规范同态 $\pi$，它把 $a$ 映成其陪集 $\bar{a}=aN$。
9. 我们想定义一个从商群 $\bar{G}'$ 到目标群 $G$ 的新同态 $\bar{\varphi}$。
   • 结论 (可以做到什么)：
10. 定义新映射：规则 $\bar{\varphi}(\bar{a}) = \varphi(a)$ 是一个“良定义”（well-defined）的同态 $\bar{\varphi}: \bar{G}' \to G$。
    • “良定义”是关键：一个陪集 $\bar{a}$ 可以由不同的代表元表示，比如如果 $a' \in \bar{a}$，那么 $\bar{a'}=\bar{a}$。我们必须保证，无论我们用哪个代表元来计算，结果都一样。即，我们需要证明：如果 $\bar{a} = \bar{b}$，那么 $\varphi(a)$ 必须等于 $\varphi(b)$。
    • 证明良定义性：$\bar{a}=\bar{b} \iff aN=bN \iff b^{-1}a \in N$。因为我们有关键条件 $N \subseteq K$，所以 $b^{-1}a \in K$。根据核的定义，$b^{-1}a \in K \iff \varphi(b^{-1}a)=1_G$。由于 $\varphi$ 是同态，$\varphi(b^{-1})\varphi(a)=1_G \Rightarrow (\varphi(b))^{-1}\varphi(a)=1_G \Rightarrow \varphi(a)=\varphi(b)$。证明完毕。
11. 交换图：这个新构造的同态 $\bar{\varphi}$ 和旧的同态 $\varphi$ 以及规范映射 $\pi$ 之间有一个优美的关系：$\bar{\varphi} \circ \pi = \varphi$。
    • 这意味着图是“可交换的”（commutes）：从左上角的 $G'$ 出发，有两条路可以到达右下角的 $G$。
    • 路径1 (直接走)：应用 $\varphi$。
    • 路径2 (绕道走)：先应用 $\pi$ 到 $\bar{G}'$，再应用 $\bar{\varphi}$ 到 $G$。
    • 两条路得到的结果是一样的：对任意 $a \in G'$，$(\bar{\varphi} \circ \pi)(a) = \bar{\varphi}(\pi(a)) = \bar{\varphi}(\bar{a}) = \varphi(a)$。

这个推论是本节理论部分的高潮。它将前面两个映射性质（自由群的和商群的）组合在一起，完美地解答了“抽象表示 $\mathcal{G}$ 和具体群 $G$ 之间有什么关系”这个问题。

1. 符号回顾：作者首先清晰地列出了所有参与者的身份。
   • $G$：一个我们正在研究的、具体的群 (例如四面体群 $T$)。
   • $S=\{x_1, \ldots, x_n\}$：我们从 $G$ 中选出的一组生成元。这里的 $x_i$ 是 $G$ 中的真实元素。
   • $R=\{r_1, \ldots, r_k\}$：我们在 $G$ 中发现的、$S$ 中元素满足的一组关系。这里的 $r_j$ 是自由群的字，但它们在 $G$ 中求值为1。
   • $\mathcal{F}$：以符号 $\{x_1, \ldots, x_n\}$ 为生成元的自由群。
   • $\mathcal{R}$：由关系字集合 $R$ 在 $\mathcal{F}$ 中生成的最小正规子群。
   • $\mathcal{G}$：由表示 $\langle S \mid R \rangle$ 定义的抽象群，其真实身份是商群 $\mathcal{F}/\mathcal{R}$。
2. 推论 (i)：规范同态的存在性
   • 结论：总能构建一个从抽象群 $\mathcal{G}$ 到具体群 $G$ 的、非常自然的群同态 $\psi$。
   • 自然之处：这个同态 $\psi$ 做的事情正是我们所期望的：它把抽象生成元 $x_i$ (在 $\mathcal{G}$ 中，是陪集 $\bar{x_i}$) 映射回它最初的来源——具体群 $G$ 中的元素 $x_i$。
   • 证明思路：这就是将命题 7.10.12 和 7.10.13 串联起来的地方。
3. 第一步 (用7.10.12)：定义一个从自由群 $\mathcal{F}$ 到目标群 $G$ 的同态 $\varphi$。我们只需指定生成元的去向。我们就定义 $\varphi(x_i) = x_i$ (左边的 $x_i$ 是 $\mathcal{F}$ 中的符号，右边是 $G$ 中的元素)。根据自由群的映射性质，这个 $\varphi$ 存在且唯一。
4. 第二步 (用7.10.13)：我们想把 $\varphi$ “降格”到商群 $\mathcal{G}=\mathcal{F}/\mathcal{R}$ 上，得到一个同态 $\psi: \mathcal{G} \to G$。为此，我们必须检查关键条件：$\mathcal{R} \subseteq \ker(\varphi)$。
5. 检查关键条件：
   • $\ker(\varphi)$ 是什么？它是 $\mathcal{F}$ 中所有在 $G$ 中求值为1的字的集合。
   • $\mathcal{R}$ 是什么？它是由关系集合 $R=\{r_1, \ldots, r_k\}$ 生成的最小正规子群。
   • 我们已知 $R$ 是 $G$ 中的一组关系，这意味着 $R$ 中的每个字 $r_j$ 在 $G$ 中求值都为1。根据 $\ker(\varphi)$ 的定义，这意味着 $R \subseteq \ker(\varphi)$。
   • 因为 $\ker(\varphi)$ 本身就是一个正规子群，而 $\mathcal{R}$ 是包含 $R$ 的最小的正规子群，所以必然有 $\mathcal{R} \subseteq \ker(\varphi)$。
   • 关键条件满足！
6. 第三步 (结论)：既然条件满足，根据商群的映射性质，就存在一个同态 $\psi: \mathcal{G} \to G$，其定义为 $\psi(\bar{w}) = \varphi(w)$。特别地，$\psi(\bar{x_i}) = \varphi(x_i) = x_i$。滥用符号写为 $\psi(x_i) = x_i$。证明完毕。
7. 推论 (ii)：满射的条件 (Surjectivity)
   • 满射意味着 $\psi$ 的像充满了整个目标群 $G$。即 $G$ 中的每个元素都能被 $\mathcal{G}$ 中的某个元素射中。
   • 结论：$\psi$ 是满射 $\iff$ 集合 $S$ 生成 $G$。
   • 证明：
   • ($\Rightarrow$) 假设 $\psi$ 是满射。$G$ 中任意元素 $g$ 都是某个 $\bar{w} \in \mathcal{G}$ 的像，即 $g=\psi(\bar{w})=\varphi(w)$。$w$ 是由 $S$ 中的符号构成的字，所以 $\varphi(w)$ 是由 $S$ 在 $G$ 中的像（即 $S$ 本身）的元素构成的乘积。这正是“$S$ 生成 $G$”的定义。
   • ($\Leftarrow$) 假设 $S$ 生成 $G$。$G$ 中任意元素 $g$ 都能写成 $S$ 中元素 $x_i$ 的乘积。设这个乘积表达式对应的自由群中的字为 $w$。那么 $\psi(\bar{w}) = \varphi(w) = g$。所以任何 $g$ 都能被射中。
8. 推论 (iii)：单射的条件 (Injectivity)
   • 单射意味着不同的元素不会被映射到同一个地方。对于群同态，这等价于核只包含单位元。
   • 结论：$\psi$ 是单射 $\iff$ $S$ 元素之间的每个 关系都在 $\mathcal{R}$ 中。
   • 这句中文表述有点绕，看英文原文更清晰: "every relation among the elements of S is in $\mathcal{R}$"。意思就是，$G$ 中所有成立的关系（即 $\ker(\varphi)$ 的所有元素），都已经包含在 $\mathcal{R}$ 中了。即 $\ker(\varphi) \subseteq \mathcal{R}$。
   • 证明:
   • $\psi$ 是单射 $\iff \ker(\psi) = \{\bar{1}_{\mathcal{G}}\} = \{\mathcal{R}\}$。
   • $\ker(\psi) = \{\bar{w} \in \mathcal{G} \mid \psi(\bar{w})=1_G\} = \{\bar{w} \in \mathcal{G} \mid \varphi(w)=1_G\} = \{\bar{w} \in \mathcal{G} \mid w \in \ker(\varphi)\}$。
   • 所以，$\ker(\psi)$ 是由 $\ker(\varphi)$ 中所有元素的陪集构成的。
   • 要让 $\ker(\psi)$ 只包含单位陪集 $\mathcal{R}$，就必须要求所有 $w \in \ker(\varphi)$ 都满足 $\bar{w}=\mathcal{R}$，这等价于要求所有 $w \in \ker(\varphi)$ 都有 $w \in \mathcal{R}$。
   • 这即是说 $\ker(\varphi) \subseteq \mathcal{R}$。
   • 我们之前已经证明了 $\mathcal{R} \subseteq \ker(\varphi)$。所以，$\psi$ 是单射当且仅当 $\mathcal{R} = \ker(\varphi)$。
   • $\mathcal{R} = \ker(\varphi)$ 的含义是：由我们给出的有限关系集 $R$ 生成的正规子群 $\mathcal{R}$，恰好等于 $G$ 中所有关系构成的集合 $\ker(\varphi)$。这正是我们之前讨论的“关系集完备性”或“定义关系”的精确数学表述。

这段是推论7.10.14(i)的正式证明过程。它精确地执行了我们在上一节分析的那个两步走的策略。

1. 证明目标：证明存在一个群同态 $\psi: \mathcal{G} \to G$，它将（代表陪集 $\bar{x_i}$ 的）$x_i$ 映射到（$G$ 中元素的）$x_i$。
2. 第一步：构造从自由群出发的同态 $\varphi$
   • 工具：自由群的映射性质 (命题 7.10.12)。
   • 应用：
   • 我们的自由群是 $\mathcal{F}$ (on $S=\{x_1, \ldots, x_n\}$)。
   • 我们的目标群是 $G$。
   • 我们定义一个从生成元集合 $S$ 到 $G$ 的集合映射 $f$，规则是 $f(x_i) = x_i$。（这里的 $x_i$ 符号被“滥用”了：左边是 $\mathcal{F}$ 的生成元符号，右边是 $G$ 中的具体元素。它们恰好是我们研究的同一个对象的两个不同身份）。
   • 根据命题 7.10.12，这个 $f$ 唯一地扩展为一个群同态 $\varphi: \mathcal{F} \to G$。这个同态 $\varphi$ 的作用就是将 $\mathcal{F}$ 中的任意字 $w(x_1, \ldots, x_n)$ 映射到 $G$ 中对应的元素乘积 $w(x_1, \ldots, x_n)$。
3. 第二步：检查商群映射性质的条件
   • 工具：商群的映射性质 (命题 7.10.13)。
   • 目标：我们想从 $\varphi: \mathcal{F} \to G$ 构造出 $\psi: \mathcal{F}/\mathcal{R} \to G$。
   • 核对条件：我们需要验证 $\mathcal{R} \subseteq \ker(\varphi)$。
   • 验证过程：
   • 令 $K = \ker(\varphi)$。$K$ 是 $\mathcal{F}$ 的一个正规子群。
   • 我们知道，给定的关系集合 $R=\{r_1, \ldots, r_k\}$ 中的每个字 $r_j$，根据假设，它在 $G$ 中求值为1。
   • 根据 $\varphi$ 的定义，$\varphi(r_j)$ 就是 $r_j$ 在 $G$ 中的求值。所以 $\varphi(r_j)=1_G$。
   • 根据核的定义，这意味着每个 $r_j$ 都在 $\ker(\varphi)$ 中。所以，集合 $R$ 包含于核 $K$，即 $R \subseteq K$。
   • 现在，$\mathcal{R}$ 的定义是“由 $R$ 生成的最小的正规子群”。
   • 既然 $K$ 是一个包含了 $R$ 的正规子群，那么根据“最小”的定义，$\mathcal{R}$ 必须被包含在 $K$ 中。即 $\mathcal{R} \subseteq K$。
   • 条件验证成功！
4. 第三步：应用商群映射性质得出结论
   • 应用：
   • 我们有同态 $\varphi: \mathcal{F} \to G$。
   • 我们有 $\mathcal{F}$ 的正规子群 $\mathcal{R}$。
   • 我们验证了 $\mathcal{R} \subseteq \ker(\varphi)$。
   • 根据命题 7.10.13，存在一个同态 $\bar{\varphi}: \mathcal{F}/\mathcal{R} \to G$，定义为 $\bar{\varphi}(\bar{w}) = \varphi(w)$。
   • 重命名并完成：
   • $\mathcal{F}/\mathcal{R}$ 就是我们的群 $\mathcal{G}$。
   • 我们将这个新得到的同态 $\bar{\varphi}$ 命名为 $\psi$。
   • 所以我们得到了同态 $\psi: \mathcal{G} \to G$。
   • 它的作用在生成元上是：$\psi(\bar{x_i}) = \varphi(x_i) = x_i$。
   • 这正是我们要证明的。
5. 交换图：
   • 证明中附的图完美地可视化了整个过程。
   • 从左上角的 $\mathcal{F}$ 到右下角的 $G$ 有直接的同态 $\varphi$。
   • 从 $\mathcal{F}$ 到左下角的 $\mathcal{G}$ 有规范同态 $\pi$。
   • 我们的证明过程就是构建了从 $\mathcal{G}$ 到 $G$ 的“捷径” $\psi$（图中写作 $\bar{\varphi}$），使得先走 $\pi$ 再走 $\psi$ 的效果和直接走 $\varphi$ 一样（$\psi \circ \pi = \varphi$）。

这段话是对之前所有理论的一个总结应用，并再次聚焦于那个核心的“完备性问题”，同时为下一节的内容做出预告。

1. 新术语：“完整关系”
   • 作者在这里给出了一个定义：如果推论7.10.14中构建的规范同态 $\psi: \mathcal{G} \to G$ 是一个双射（bijective），即它既是单射又是满射，从而是一个同构，那么我们就称最初的那组关系 $R$ 是 $S$ 关于群 $G$ 的一组完整关系（a complete set of relations）。
   • 这其实就是“定义关系”（defining relations）的另一种说法，但它从 $\psi$ 是否为同构这个结果来反向定义，更加精确。
   • “完整”意味着我们找到的关系 $R$ 已经“足够多”了，由它们生成的 $\mathcal{R}$ 恰好等于 $G$ 中所有的关系集合 $\ker(\varphi)$。
2. 如何判断“完整性”？
   • 作者指出，要判断一组关系是否完整，光靠代数推导（在 $\mathcal{R}$ 内部计算）通常是不够的。我们“需要更多地了解 $G$”。
   • 这通常意味着我们需要利用 $G$ 的其他性质，比如它的阶（元素个数）、它的子群结构、它的几何或组合性质等。
   • 这是理论与实践的交汇点。纯粹的代数表示理论提供了一个框架，但要解决具体问题，我们必须把具体群 $G$ 的信息代入这个框架。
3. 重访四面体群问题
   • 我们有同态 $\psi: \mathcal{G} \to T$，其中 $\mathcal{G} = \langle x, y, z \mid x^3, y^3, z^2, xyz \rangle$。
   • 满射性分析：$\psi$ 是满射的。为什么？因为我们是从 $T$ 中选取的生成元 $x,y,z$，我们已知它们可以生成整个 $T$。根据推论7.10.14(ii)，$\psi$ 是满射。
   • 单射性分析：$\psi$ 是单射吗？这等价于问我们给出的关系集 $R=\{x^3, \ldots, xyz\}$ 是否是完整的。
   • 一个正向证据：作者回顾了示例7.10.11。我们知道 $yxyx=1$ 是 $T$ 中的一个（可能隐藏的）关系。在那个例子里，我们成功地仅用 $R$ 中的关系，通过代数运算证明了 $yxyx \in \mathcal{R}$。这说明 $yxyx=1$ 这个关系不是一个独立的、新的关系，它已经被 $R$ 所蕴含了。这是一个很好的迹象，表明我们找的 $R$ 可能真的是完整的。
   • 终极问题：但是，我们怎么知道所有在 $T$ 中成立的关系都能从 $R$ 推导出来呢？这是最难回答的部分。
   • 再次预告：作者再次告诉我们，这个问题的答案是肯定的，$\psi$ 确实是双射（因此 $R$ 是完整的）。但他又一次说，证明方法在下一节。这吊足了读者的胃口，也暗示了下一节会介绍一个更强大的、能用来判断同构的工具或方法。

这是对本节核心概念——群的表示——的一个全面总结，重申了其定义、性质和意义。

1. 定义重申 (The "What")
   • 作者用一句话概括了定义7.10.4的全部内容：
   • “由生成元 $S$ 和关系 $R$ 定义的群” $\langle S \mid R \rangle$
   • ...其严格的数学身份是...
   • 商群 $\mathcal{F}/\mathcal{R}$。
   • 并再次明确了 $\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{R}$ 的身份：
   • $\mathcal{F}$：在 $S$ 上的自由群。
   • $\mathcal{R}$：由 $R$ 在 $\mathcal{F}$ 中生成的最小正规子群。
   • 这强调了群表示是一种“构造性”定义。
2. 关系的作用 (The "How")
   • “任何一组关系都将定义一个群。” 这是一个重要的观点。无论你给出的关系 $R$ 多么奇怪或多么不合理，这个构造过程（取自由群、生成正规子群、作商）总是能进行下去，总会产生一个合法的群 $\mathcal{G}$。
   • 关系越多，群越小：
   • 如果关系集合 $R$ 越大（包含的字越多），那么由它生成的正规子群 $\mathcal{R}$ 也会越大（或不变）。
   • $\mathcal{R}$ 越大，意味着在作商 $\mathcal{F}/\mathcal{R}$ 时，“除掉”的东西越多，或者说，被视为单位元的元素越多。
   • 这导致自由群 $\mathcal{F}$ 到商群 $\mathcal{G}$ 的规范同态 $\pi$ 中发生的“坍缩”（collapse）越严重。更多的字被映射到了同一个陪集。
   • 因此，最终得到的群 $\mathcal{G}$ 的阶就越小，结构也可能越简单。
3. 极端情况
   • 最小的坍缩：如果 $R=\emptyset$，则 $\mathcal{R}=\{1\}$，$\mathcal{G} \cong \mathcal{F}$。没有关系，得到自由群，这是最大的可能。
   • 最大的坍缩：如果 $\mathcal{R}$ 增长到等于整个自由群 $\mathcal{F}$，那么商群 $\mathcal{G} = \mathcal{F}/\mathcal{F}$ 就只包含一个元素（即 $\mathcal{F}$ 本身这个唯一的陪集）。这个群就是平凡群 $\{1\}$。
   • 这种情况什么时候发生？例如，如果你的关系集 $R$ 中包含了一个生成元，比如 $x_1 \in R$。那么 $\mathcal{R}$ 就会包含 $x_1$。因为 $\mathcal{R}$ 是正规的，它也包含 $x_1$ 的所有共轭。在自由群中，这会生成非常多的元素，并最终可能（取决于其他生成元）生成整个 $\mathcal{F}$。一个更直接的例子是 $R=\{x_1\}$，而生成元集只有 $S=\{x_1\}$，那么 $\mathcal{F}=\langle x_1 \rangle \cong \mathbb{Z}$，$\mathcal{R}=\langle x_1 \rangle = \mathcal{F}$，于是 $\mathcal{G}=\{1\}$。
   • “所有关系在平凡群中都成立。” 这是一个哲学上有趣的观点。在平凡群 $\{1\}$ 中，任何由生成元构成的字，求值后都等于1。所以，它是所有关系的“终极归宿”。
4. 实用性的权衡 (The "Why")
   • 困难：“问题之所以产生，是因为在 $\mathcal{F}/\mathcal{R}$ 中计算可能很困难。” 这再次指向了核心的“字问题”。尽管定义很优美，但实际操作起来可能很难。
   • 价值：“但是由于生成元和关系在许多情况下允许高效计算，它们是一个有用的工具。” 作者最后肯定了群表示的巨大价值。
   • 对于大量的群（包括所有有限群，以及许多重要的无限群，如二面体群、某些矩阵群等），存在有效的算法（如 Todd-Coxeter 算法，Knuth-Bendix 算法）来处理它们的表示，从而可以推断出群的阶、结构、子群等重要信息。
   • 在几何、拓扑等领域，群往往天然地以生成元和关系的形式出现（例如，一个空间的基本群），所以群表示是研究这些问题的不可或缺的语言和工具。